计算机中的浮点数表示

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本文介绍小数在计算机中的表现形式，基于IEEE标准。

浮点数表示

浮点数(floating point)：二进制小数点不固定的表达数的记数法。

在许多编程语言中，都提供了一种或者多种浮点数类型。例如 C 语言中提供了双精度浮点类型double，单精度浮点类型float，这两种数据类型都采用浮点数来表示。浮点数 \(\pm m \times n^e\) 是指由符号 (sign) 、指数 (exponent) 、尾数 (fraction) 、基数 (cardinal number) 四部分来表示的小数，数被表示为二进制小数点左边只有一位非零数的形式。在计算机中使用二进制表示数据，因此基数为2。因此计算机中的浮点数可以分成三个部分，符号，尾数和指数。

  • 双精度浮点数（64位）
1位 8位 52位
符号部分 指数部分 尾数部分
  • 单精度浮点数（32位）
1位 8位 23位
符号部分 指数部分 尾数部分

下面以单精度浮点数为例，双精度浮点数表示类似。

符号部分

符号部分的表示使用1-bit ，和二进制整数的符号位表示法类似，符号位在最高位，0为正数，1为负数。

将符号放在最高为，可以快速测试出大于、小于、等于0的情况。

尾数部分

尾数：位于小数点的位数字段，值在0和1之间。

单精度浮点数中尾数长度是23个二进制数字。尾数部分是被正则化的，即小数点左边有且仅有一位非0数字，在二进制表示方式下，非0即1，因此这个数字只能为1，IEEE 754隐藏了规格化二进制数的前导位1，这样，23-bit 的尾数部分实际上可以表示 24-bit 的精度。

指数部分

指数：位于浮点数的指数字段，表示小数点的位置。

但制数部分如果为负数，使用补码，可能会使得一个负指数显得像是一个大数，因此指数部分使用的是 EXCESS 系统，将中间数字设置为0，负数不需要负号来表示，将最小的负指数表示为\(00\cdots00_2\) ，最大的正指数表示为\(11\cdots11_2\)，这种记数法称为带偏阶的记数法(biased notation)，要从带偏阶的指数中减去偏阶，才能获得真实的值。8-bit 的指数字段可以表示 256 个不同的指数值，但 0000 0000 和 1111 1111 有特殊含义，稍后再提。剩下的 254 个数值，即 1~254，实际的指数值等于该无符号整数减单精度偏阶127所得的值。

这样单精度浮点数表示为： \[ N =(-1)^s \times （1+Fraction) \times 2 ^{Exponent-Bias}，\quad 1 \le Exponent \le 254, Bias = 127 \]

0000 0000 的情况

如果指数字段是0000 0000，则代表指数值-126，且尾数中小数点左边默认数字是0（而不是1），这种情况下，浮点数值为： \[ N = (-1)^s \times 0.尾数 \times 2 ^{-126} \] 若指数与尾数均为0，则根据符号位表示 \(\pm 0​\)。

但为什么不是用$1.尾数 ^{-127} $呢？考虑以下情况，\(1.11\cdots11\times 2^{-127}\) 与 \(1.11\cdots 10 \times 2 ^{-127}\) 两个数相减的情况，差为\(0.00\cdots 01 \times 2 ^{-127}\) ，这个差值将无法使用这种表示法来表示。为了解决这种情况，在表示比\(1.00\cdots 00\times 2 ^{-126}\)小的数时，我们用0取代被我们忽略的默认小数点左边的1。

1111 1111 的情况

  • 尾数为0 ：根据符号位表示 \(\pm \infty\)
  • 尾数非0：表示 NaN 非数字， (Not a Number)

IEEE 754 浮点数的编码

单精度 双精度 表示对象
指数 尾数 指数 尾数
0 0 0 0 0
0 非0 0 非0 \(\pm\) 非规格化数
1-254 任何值 1-2046 任何值 \(\pm\)浮点数
255 0 2047 0 \(\pm \infty\)
255 非0 2047 非0 NaN

十进制小数转IEEE浮点数

方法

  1. 将十进制小数表示为二进制小数
  2. 正则化处理
  3. 根据符号确定符号位
  4. 计算指数部分
  5. 计算尾数部分

举例

下面我们将\(-6 \frac{5}{8}\) 表示为IEEE浮点数：

  1. 首先将\(-6 \frac{5}{8}\) 表示为二进制数: \[ -6 \frac{5}{8} = -(1\times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0 + 1\times 2^{-1} + 0 \times 2^{-2} + 1\times 2^{-3} \]

  2. 正则化处理得到 \(-1.10101 \times 2 ^2\)

  3. 负数，符号位为1

  4. 计算指数部分：实际指数为2，加上127得到129，二进制表示指数部分为1000 0001

  5. 计算尾数部分，忽略小数点左边的1，得到尾数部分为 1010 1000 0000 0000 0000 000 。

C语言实现 1

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/* 用于确认单精度浮点数表示方法的C语言程序（摘自《程序是怎样跑起来的》），做了一点小改动 */

#include <stdio.h>
#include <string.h>

int main() 
{
  float data;
  unsigned long buff;
  int i;
  char s[34];
  
  scanf("%f", &data);
  
  // 把数据复制到 4 字节长度的整数变量 buff 中以逐个提取出每一位
  memcpy(&buff, &data, 4);
  
  // 逐一提取出每一位
  for (i = 33; i >= 0; i--) {
      if (i == 1 || i == 10) 
          // 加入破折号来区分符号部分、指数部分和尾数部分
          s[i] = '-';
       else {
          if (buff % 2 == 1) 
            s[i] = '1';
         else 
            s[i] = '0';
          buff /= 2;
       }
  }
  s[33] = '\0';
  
  printf("%s\n", s);
  
  return 0;
}

IEEE 浮点数转十进制数

方法

  1. 由第一位判断符号
  2. 由第二位至第九位计算十进制值减去127得到指数值
  3. 后23位为尾数值

举例

将浮点数 0 1000 0011 0010 1000 0000 0000 0000 000 转为十进制数：

  1. 符号位为0，该数为正数
  2. 指数字段 1000 0011 转为十进制数为 131，得到实际指数值为4
  3. 尾数部分为 0010 1000 0000 0000 0000 000，在小数点左边补1，得到1.0010 1
  4. 因为实际指数值为4，故将小数点右移4位，得到10010.1
  5. 转为十进制得到18.5

参考资料

  1. Source Code - Gits↩︎